在四維空間裏面，就連普通的物件移動，在我們看來都伴隨着隔空取物、大小變化的異常現象。

這是因為我們缺乏理解四維世界的感官，會把四維旋轉看成穿透、擠壓和變形，把四維移動誤認成憑空出現和消失，才會覺得神奇。

一旦意識到空間還有更多的可能，三維空間就會頓時變得侷促起來。為了把這些概念塞進我們的世界，我們只能用些粗糙的手段模仿，例如用自我相交代替四維的連接，用大小變化代替距離四維的遠近。這些做法不可避免地扭曲了本來的形狀，喪失原本的簡單結構。

但即使是這種殘缺狀態下，我們還是可以在腦海裏拼合概念的碎片，不受物理約束地窺探只存在於紙面上的概念，正是因為無論空間有多少個維度，底層的幾何法則都是統一的，這種自由正是數學讓人着迷的原因。

如果高維世界只是個虛構的思維遊戲，只會出現在科幻小説裏面倒也不錯。但四元數的存在，打破了次元間涇渭分明的層次結構，難道有些三維概念，真的只能用四維才能描述嗎？

複數乘法能描述平面的旋轉。每一個複數 a + bi 能對應一個平面上的座標 (a, b)。同時也代表一個旋轉方向。

甚至可以説，複數乘法的本質就是旋轉。要是從歷史出發，説 $i \times i = -1$只是人為定義的運算規則，反而顯得不自然了。

四元數是複數的拓展、新增了 j 和 k，自然也可以理解成兩個新的方向軸。和複數一樣，每個四元數既是一個四維空間的坐標，也指示着四維球體的旋轉方向。

三維的旋轉需要挑一個軸，而四維的旋轉需要挑一個「旋轉平面」。三維旋轉只需要旋轉其中一個平面，另外一個平面要保持不變，而四維旋轉的規則是，兩個垂直的平面必須同步旋轉，不能只旋轉其中一個平面。不過，兩個平面旋轉的方向可以相反，所以為了實現三維旋轉的效果，我們先轉半圈，然後掉轉旋轉平面的旋轉方向，完成剩下的半圈，這樣一來，我們不想要的平面的旋轉就抵消了。

這就像是解魔方一樣，不能直接把色塊轉至目標位置，因為最直接的路會把原本已經調整好的方塊弄亂。必須同時進行恢復，把受影響的色塊送回原地。

問題是，我們無法真的看見這個過程，必須用各種手段把這個過程變成三維影像：兩個互相垂直的平面在三維空間不存在，所以必須把第四個垂直軸構成的三個平面用球極投影的方式變成直線，把旋轉理解成在零點和正負無限遠點上的循環移動。

就算這個影像已經完全足夠解釋旋轉也好，我們還是會想象，在一個理想的世界，我們能直接看見而且操作這個四維球體，不用經過繁瑣的投影，就能直接把握四元數。

但這種想法，就好像是把這運算過程當成真實的過程，把點送去四維空間轉一圈再回來一樣。不知不覺間，就受困於「無法理解四維空間，就無法真正理解三維旋轉」的枷鎖裏面。

三維旋轉本身當然不是四維的，只需要三個參數就能確定，像軸角定義就是用單位球面上的經度和緯度確定旋轉軸，加上旋轉角度。為什麼這些直觀的方法不行呢？問題是旋轉有重複週期——無論沿哪個旋轉軸轉，轉了360度就會回到起點。這使得出發點可以用無限組數字描述，向量在這個奇異點會變得不連續，導致數值計算失效。

任何四元數計算結果，終究是要回到三維，把第四個參數變回零的，也就是純四元數——實部為0、只有虛部有數值的四元數。實部非0的，有第四維存在的四元數，只會在運算過程中出現，不然就真的轉到四維空間去了。

我還是想把第四個參數理解成一個臨時的資訊儲存位，這個參數保存的是移動過程的資訊，根據出發的位置，定義用什麼方式描述奇異點。四元數乘法就是把這個資訊在第四個參數打包和解碼的過程。這樣就不用動用，不動用四維空間的概念。

雖然這像做是為了應付人類有限的認知，強行拆散完整的數學概念，但我不想為自己看不見世界之外的維度而嘆息，不想用徒勞的方式把握超乎想象的概念。如果這些概念註定是只能以碎片形式呈現的話，這些碎片就是我們能擁有的全部。

參考資料

Visualizing the 4d numbers Quaternions (youtube.com)

解釋優美，對計算沒有幫助。受了很大的刺激。

Visualizing quaternions (eater.net)

影片居然還能互動！

Quaternions and Rotations (stanford.edu)

教材的參考資料。參考定義和性質，性質的證明看不懂