帕斯卡三角形和二的次方

$$ \binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^n $$

這個定理原來是這麼顯而易見的！這是因為我在研究 Stenograph Keyboard 的按鍵組合：

Stenograph Keyboard 鍵有四個元音鍵 AOEU，可以同時按下，總共能代表多少種元音組合？

如果是為了計算答案，就會用「每個按鍵有兩個可能的狀態，所以是二的四次方」這種作弊的方法思考。

但真的需要使用 EU、AO 這種組合鍵代表不同輔音的時候，真的要把所有組合列出來的時候，我就完全忘記了這回事，而是會用「n 個鍵的組合有多少」來思考。

自然就會從 $C_{1}^{n}$ 開始一路數到 $C_{n}^{n}$

得出結論，總組合數就是 $C_{1}^{4} + C_{1}^{4} + \cdots + C_{4}^{4}$，這個是帕斯卡三角形第四層的總和減一。

等到我突然想起還能用二次方計算的時候，這個定理也就重新被我發現了。明明學離散數學的時候完全不明白。

特別是我根本不會去考慮 $C_{0}^{4}$ 的情況，因為什麼都不按根本不能用來代表一個元音。所以是$ \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^n - 1$。乾脆把三角形的左邊的一排 1 劃掉好了。