音樂的旋律到底有多少種？音符的序列有無窮無盡的可能，但是真正好聽的組合應該只有一小部分。

先從容易回答的問題開始：音樂裏面有幾個音？隨意選一個震動頻率，把這個頻率加倍，就是高八度的同一個音。古代人透過調整弦的長度，在這兩個頻率之間分割。分成五個音或是七個音。後來在分割成十二份，就是現在一個八度裏的十三個音。傳統上，考慮人對聲音的喜好，作曲家只會挑出當中一部分的音使用，這一部分的音就是音階。

旋律通常是在某個音階上寫成的。例如 Do Re Mi Fa So La Ti Do形成了大調音階，很多兒歌都是用大調音階寫的。其他音階是在大調音階加上臨時記號之後的變種。例如小調就是把大調音階的第三，第六和第七個音降半音。如果只挑五個音，就會形成五聲音階。如果把這十二個音全部彈出來，就會形成半音階。

用音階寫旋律雖然方便，但也限制了我們能寫什麽旋律。如果能發現新的音階，不就能發現新的旋律嗎？

音階可以看作是音程的組合。如果把音程限制在半、全、增三種（1, 2, 3），要跨越一個八度的話，有多少種可能的音程組合呢？

一個八度裏面有十二個音程。如果把所有的音程都彈出來的話，可以寫成十二個一：1111 1111 1111。在大調音階裏面，一步會跳兩個音程，例如從 C 到 D ，有時候也會跳一個音程，例如從 E 到 F。這些音程可以寫成 2212221。用同樣的方式看待小調音階，就會寫成 2122132（這裏指的是和聲小調音階，我後來才發現小調音階有好幾種）。

我在這個時候發現，之前考試要考的，讓人學得頭昏的組合數學居然派上用場了。這個問題叫做 Combination with replacement 。解決方法叫做 Stars and bars。不過要分別計算每一種的排列的話，就要一個個數出來了。總共有 927 種。

3333 = 1

33321 = 20
333111 = 20

33 111 111 = 28
33 21 111 = 105
33 22 11 = 90
33 222 = 10

3 111 111 111 = 10
3 21 111 111 = 72
3 22 11 111 = 168
3 222 111 = 140
3 2222 1 = 30

222222 = 1
22222 11 = 21
2222 11 11 = 70
222 11 11 11 = 84
22 11 11 11 11 = 45
2 11 11 11 11 11 = 11

11 11 11 11 11 11 = 1

Total = 927

事情本來到這裏就結束了。但是我又想到，和五聲音階這種連音的數量都不一樣的音階不一樣，大調和小調看似不同，但使用的是的是同一組的音程。音階是循環的，不用加入新的音，也可以形成新的音階，但音程組合並沒有改變。這應該不是簡單的排列組合，而是環形的排列組合。

Augment:    2222121
Lydian:     2221221
Major:      2212221
Mixolydian: 2212212 
Dorian:     2122212 
Aeolian:    2122122
Har minor:  2122132
Phygian:    1222122
Phy Domin:  1312122
Locian:     1221222
Altered:    1212222

但是，在環形排列裏面如果有重複的元素，應該怎麼數呢？我發現我從來都沒有碰到過這樣的問題。明明環形排列在高中就教過了，可以説連小學生都能懂，但為什麼沒有碰到過呢？原來，只要在環形排列裏加入重複的元素，就要出動群論了，一點也不簡單，難怪沒有學過。Burnside’s theorem 的原理很複雜，不過算起來倒不難。就是把音階的旋轉對稱性考慮進去，計算每個音階的「軌道」（Orbit）。全部算出來之後，答案是132。也就是說，在一個八度裏分割音程，只有132種可能。

3333 = 1
33321 = (20 + 0) / 5 = 4
333111 = (20 + 4) / 6 = 4
33 111 111 = 28 + 4 / 8 = 4
33 21 111 = 105 + 0 / 7 = 15 
33 22 11 = 90 + 6 / 6 = 16
33 222 = 10 + 0 / 5 = 2
3 111 111 111 = 10 + 0 / 10 = 1
3 21 111 111 = 72 + 0 / 9 = 8 
3 22 11 111 = 168 + 0 / 8 = 21
3 222 111 = 140 + 0 / 7 = 20
3 2222 1 = 30 + 0 / 6 = 5
	222222 = 1
22222 11 = 21 + 0 / 7 = 3
2222 11 11 = 70 + 10 / 8 = 10
222 11 11 11 = 84 + 6 / 9 = 10
22 11 11 11 11 = 45 + 5 / 10 = 5
2 11 11 11 11 11 = 11 / 11 = 1
11 11 11 11 11 11 = 1
= 1 + 4 + 4 + 4 + 15+16+2+1+8+21+20+5+1+3+10+10+5+1+1

= 132

這樣不是很可惜嗎？明明有132種音階，但是我們只會用其中的兩三種。

不過，這樣只是從理論角度考慮，音樂要好聽似乎有很多限制，不是隨便挑一些音就能組成音階的。例如至少要保留四度音和五度音，像什麼 33 111 111，寫出來的音樂應該很奇怪，派不上用場。

説不定，我一開始就搞錯方向了。旋律好像是非常自由的，沒有什麼限制。真正決定音樂好不好聽的，不是和弦嗎？所以我應該去數和弦才對。